论文标题:一般型三维代数簇上的m-典范映射的一般有限性
The Generic Finiteness of the m-canonical Map for 3-folds of General Type
论文作者
论文导师 陈猛,论文学位 硕士,论文专业 基础数学
论文单位 同济大学,点击次数 190,论文页数 31页File Size1236K
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projective minimal threefold of general type with only Q-factorial terminal singularities;; the generical finiteness ofφ_m;; the geometric genus;; the irregularity
代数簇的分类是代数几何的一个研究分支，而通过对其m-典范映射的性状分析对代数簇进行双有理或者同构分类是一种研究方法。所谓m-典范映射，就是由完全线性系统|mK_x|定义的有理映射。对于复数域C上的光滑射影代数簇V而言，当dimV≤2时，其m-典范映射φ_m的性状已经有了比较好的结果。但当dimV≥3时，φ_m的已知结果还很有限。鉴于此，复数域C上的射影一般型三维簇的m-典范映射引起了研究者的兴趣，例如T.Fujita,K.Ueno,E.Viehweg,Y.Kawamata,J.Kollár,M.Reid,S.Mori等等。研究目的大多是要寻找最优的m，使得φ_k是双有理映射或一般有限映射(当k≥m时)，并希望这种m与代数簇本身没有关系，这就是所谓X的典范稳定性问题。目前研究一般在于通过限制代数簇的某些条件，来寻找上述的m．例如对代数簇典范指标r的范围的界定。在不断地循序渐进中，已经有了一些这方面的结果，主要是r≥2时，m关于r的函数关系式：再如通过对代数簇的几何亏格，典范除子等的限制，使得φ_m是双有理映射或者一般有限映射。 本学位论文主要研究一般型三维代数簇X的m-典范映射的一般有限性，即m-典范映射是一般有限时，对X有何要求。之前，许多学者已经使用各种方法得到了一些结果，有些结果已经被证明在所给条件下是最优的，但是对X本身的要求还是比较高，例如1986年，J.Kollár在他的论文[14]中证明了当X是光滑射影一般型三维簇且其不规则性q(X)≥4时，φ_m是一般有限，对于所有m≥3．以及2001年，陈猛教证明了当X是极小的一般型三维射影簇且Gorenstein时，只要X的亏格大于38，就有X的三典范映射是一般有限映射。本文通过推广[5]中的方法，深化了上述两篇文章的结果，并得到了一些有关m-典范映射的更细致的结论。 本文共分三章来论述的。 在第一章中，首先给出了上面所提到的两个结果的具体表述，以及我们将要证明的主要定理及推论。接着，陈述了在证明定理及推论时将要用到的一些已知结论，最后我们统一的给出证明过程中需要用到的符号。 第二章，我们证明了当X的亏格P_g(X)≥2的时候，6-典范映射始终是一般有限的；当亏格P_g(X)≥3的时候，5-典范映射始终是一般有限的；以及亏格P_g(X)≥2时，且当1-典范系统不是有理曲面束时，3-典范映射和4-典范映射是一般有限的，从而把主要定理分成了三个小定理，我们主要用到了Q-除子方法以及Kollár的一些技术。 第三章，主要讨论φ_m的一般有限性。一方面，归纳了第二章中已经得到的一些结果，另一方面，还具体讨论了当1-典范系统是有理曲面束时，3-典范映射的一般有限性与纤维的亏格之间的关系。
To classify algebraic varieties is one of the goals in algebraicgeometry. One way to study a given variety is to understand thebehavior of its pluricanonical maps. The so-called m-canonicalmapφ_m is nothing but the rational map corresponding to thecomplete linear system |mK_X|. During the past years, the theoryof the smooth varieties over complex field with dim≤2 has beenimproved a large step by a long list of authors. As for the higherdimensional varieties, unfortunately, the classification is still atoo diffcult problem, although it has been developed a great dealby T. Fujita, K. Ueno, E. Viehweg, Y. Kawamata, J. Kollár, M. Reid,S. Mori and others. For a given 3-fold X, quite an interesting thingis to find the optimal m, such thatφ_k is birational or genericallyfinite(where k≥m) and we also hope such m is independent withX. We say thatφ_m is canonically stable. To find above m, weusually give more precise condition to canonical index, geometricgenus, canonical divisor etc. Little by little, we have some results. This thesis focuses on the generic finiteness of the m-canonicalmap for 3-folds of general type. In 1986, J. Kollár(Theorem(6.2)of [14]) gave an effective result and proved that it is optimal underthat condition. And in 2001, Meng Chen proved that for a projec-tive minimal Gorenstein threefold of general type,φ_3 is genericallyfinite whenever P_g(X)≥39. We generalize the method used in[5] and then improve the results of J. Kollár and Meng Chen. The thesis carries out the discussion in three chapters. In chapter one, we first introduce the two theorem mentionedabove and our main theorem. Then we present several well-knownresults which will be used throughout this paper. Finally, we willfix our terminology. In chapter two, we prove the main theorem step by step. In chapter three, we mainly dicuss the generical finitenessofφ_m through the geometric genus of 3-fold X and give moredetailed results.
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